Vragen werkcollege statistiek 20 september

1. Noem enkele van deze stappen die een fout introduceren en geef aan of deze een systematische of toevallige fout opleveren.

De resultaten van de gehaltecontrole op 10 tabletten is als volgt:

tabel 1

tablet	gehalte paracetamol (mg paracetamol/gem. tabletgewicht)
1	612.3
2	615.7
3	612.4
4	609.0
5	614.3
6	599.7
7	614.2
8	610.1
9	613.0
10	617.9

2. Geef de formules voor het berekenen van het gemiddelde, de variantie en standaarddeviatie voor zowel de populatie als een steekproef.
3. Reken x_gem en de s uit voor de steekproefgegevens in tabel 1 en bereken de standaardfout in het gemiddelde.
4. Schets de verdeling van de gemiddelde gevonden gehaltes in een figuur van x_gem (het gevonden gemiddelde gehalte) tegen de kans om dat gehalte te vinden p(x_gem ). Wat zijn de kenmerken van de verdeling en welke aannames worden gemaakt? Gaan deze op in deze situatie?
5. Voorspel met de gegevens in tabel 1 het gemiddeld gehalte van de hele batch tabletten. Doe dit zowel met 95% betrouwbaarheid als met 99% betrouwbaarheid.
6. Wat zou het effect zijn op de in e berekende interval, als het gemiddelde op een steekproef van 100 tabletten zou zijn bepaald in plaats van op 10?

Firma X claimt dat het gemiddeld gehalte paracetamol in batch I 600.0 mg per gemiddeld tabletgewicht gedraagt.

7. Kan deze claim, op basis van de gegevens uit tabel 1, worden gesteund? Ga uit van een betrouwbaarheid van 95%

De formulering van de tabletten wordt aangepast en er wordt opnieuw een batch tabletten geslagen (batch II). Na analyse worden de volgende gehaltes gevonden:

tabel 2

tablet	gehalte paracetamol (mg paracetamol/gem. tabletgewicht)
A	602.1
B	601.7
C	602.3
D	597.7
E	601.0
F	577.1
G	596.0

8. Bereken of er met 95% betrouwbaarheid geconcludeerd kan worden dat het gemiddeld gehalte van batch II verschilt van batch I.

1. systematische fout onder andere in:
   • glaswerk (maatkolf en pipet)
   • onvolledig overbrengen
   • cuvet
   • monochromator
   • filtreren

   toevallige fouten onder andere in:

   • glaswerk (maatkolf en pipet)
   • weging
   • gevoeligheid detector
   • filtreren
   • plaats cuvet in lichtweg
2. populatiegemiddelde:

m = S x_i / n

populatievariantie:

s² = S (x_i- m)² / n

populatiestandaarddeviatie:

s = wortel uit populatievariantie

steekproefgemiddelde:

x_gem = S x_i / n

steekproefvariantie:

s² = S (x_i- x_gem)² / (n-1)

steekproefstandaarddeviatie

:

s = wortel uit steekproefvariantie

3. x_gem = 611.9 mg / gemiddeld tabeltgewicht

s = 5.0 mg / gemiddeld tabletgewicht

s_xgem = standaardfout in het gemiddelde = SEM = s / Ö n = 5.0 / Ö 10 = 1.6 mg / gemiddeld tabletgewicht

4. Gausse-curve (klokvormige curve). De kenmerken zijn: de top van de curve ligt op het werkelijk gemiddelde; de twee buigpunten van de curve liggen op m+s / Ö n en m-s / Ö n. Voorwaarden zijn: alle waarnemingen van x_gem zijn onafhankelijk van elkaar gedaan; de waarneming moet een waarde kunnen aannemen van -¥ tot +¥ . Aan deze voorwaarden wordt in de farmaceutische analyse niet volledig voldaan (een gehalte kan bijvoorbeeld nooit oneindig groot of klein zijn). De afwijking die dit veroorzaakt is echter zo klein, dan de verdeling bij benadering overeenkomt.
5. BI-opstellen met 95% betrouwbaarheid en 99% betrouwbaarheid

m = x_gem ± t_n-1; a * s / Ö n = 611.9 ± 2.26 * 5 / Ö 10 = 611.9 ± 3.6 (bij 95%)

611.9 ± 3.25 * 5 / Ö 10 = 611.9 ± 5.1 (bij 99%)

6. m = x_gem ± t_n-1; a * s / Ö n = 611.9 ± 1.99 * 5 / Ö 100 = 610.9 � 612.9
7. valt de waarde van het werkelijk gehalte, dat is gesteld op 600.0 mg in het betrouwbaarheidsinterval van 95%? Nee, dus claim wordt niet geloofd.
8. • stap 1: verschilt het gehalte van batch 1 van dat van batch II?

     H₀: m_I = m_II
     H₁: m_{I ¹} m_II

   • stap 2: toetsgrootheid is die voor een ongepaarde t-toets

   • stap 3: a = 0.05

     Is meting F een uitbijter?

     Hoewel via de Q-toets meting F een uitbijter blijkt te zijn mag deze meting niet verworpen worden. Een meetwaarde verwerpen mag pas als met zekerheid gezegd kan worden dat de afwijkende waarde aan een meetfout te wijten is. In dit geval is het natuurlijk heel goed mogelijk dat de betreffende capsule echt een veel te laag gehalte heeft.

   • stap 4: Voor de s_p nodig in stap 4 berekend kan worden, moet eerst worden getoetst of de populatievarianties van batch I en batch II verschillen.

     1: H₀ : s²_I = s²_II
     H₁: s²_I ¹ s²_II

     2: F = s²_I / s²_II (waarbij teller altijd grootste variantie bevat en de noemer de kleinste)

     F = 81.59/24.84 = 3.28

     3: a = 0.05

     4: F_tabel = F₉; ₅; _0.05 = 4.48

     5: F_berekend < F_tabel dus H₀, hypothese dat de varianties gelijk zijn, is niet te verwerpen

     t_berekend = 4.67

   • stap 5: t_tabel = t_{15; 0.025} = 2.13

   • stap 6: t_berekend > t_tabel. De H₀, de hypothese dat de gemiddelde gehaltes van de tabletten gelijk zijn, kan met 95 % betrouwbaarheid worden verworpen. Er kan dus gezegd worden dat met 95% zekerheid de gemiddelde gehaltes verschillen.